现代微分几何——从拓扑流形到微分流形

之前小编写过一个关于现代微分几何的系列推文，当时是为了写《Riemannian Geometry》做铺垫，推文如下：

今天从另一个角度来分享的原因是为了过渡到《Fibre Bundles》，希望读者能喜欢.

参考文献：

John M. Lee.《 Introduction to Smooth Manifolds》. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218. 

0.前言

拓扑流形，也就是具有Hausdorff性质的拓扑，而且每一点都有一个同胚于欧氏空间的开邻域，并且这个流形的维数为，这里关于流形的维数是良定义的. 对于与，当时不同胚，即不存在有一点的邻域既同胚于又同胚于.

一般考虑的拓扑流形不止假设是Hausdorff的, 还假设是第二可数的，Hausdorff保证了流形中的开集不会“粘”在一起分不开，从而序列的极限是唯一的. 不过也有拓扑流形的例子分别不是第二可数的，即不可数个欧氏空间的无交并，或不是Hausdorff的，如取平面中的两条直线，为商空间，即当时，，从而不存在不相交的开邻域.

要得到第二可数这一性质，得先有拓扑基来生成拓扑流形，如度量空间中的有理数中心，有理数半径的开球，可数的拓扑基可以视为对开集有一个可数的“分解”或者“近似”，流形中有很多良好的性质在满足第二可数的性质之后才能得到.

1. 拓扑流形

有了上面的讨论，就可以给出拓扑流形的性质.

定义1 (Topological manifold)： 设是一个拓扑空间，如果满足下面的性质：

（i） 作为拓扑空间是Hausdorff的；

（ii） 是第二可数的；

（iii） 局部同胚于维欧氏空间，即对流形上任意一点，存在该点的邻域同胚于中的某个开集.

则称为拓扑流形.

下面来看几个拓扑流形的例子.  

（i）欧氏空间  本身就是一个维拓扑流形；

（ii）一维圆周 ，可以先去掉北极点，剩下的开区间有一个到  的同胚，再去掉南极点，也有一个到  的同胚，根据定义  是一个一维拓扑紧致流形；

（iii）+1 维球的表面  ；

（iv）有限维线性空间；

（v）一般线性群.

2. 微分流形

拓扑是讨论在连续的意义下不变的性质，之前的文章中关于欧氏空间中的曲率都是需要微分运算的，如果在流形上进行微分运算，就得在流形上引入微分的定义，故需要把欧氏空间的微分结构抽象出来，赋给拓扑流形.

由定义1的(iii)可知，在拓扑流形上取个集合，以及这个集合上规定的同胚映射凑成一个坐标卡  ，则拓扑流形的每一点都包含在一个邻域  中，故每个点都包含在至少一个这样的坐标卡中.

一个定义在流形上的函数是光滑的，可以通过从流形上到欧氏空间的同胚映射，以及复合映射 来定义流形上的可微，称  光滑当且仅当光滑. 然后对于集合中的两个坐标卡，如果在拓扑流形上满足或者既属于 又属于  的公共部分，那么两个坐标卡是微分相容的，且存在一个转移函数，定义是一个微分同胚.

这样来定义微分同胚的原因是在于流形是局部定义的，故只能在一个开集的邻域内讨论可微性，一旦超出这个开集的范围，得先转移到和别的开集相交的部分，因此通过对转移函数加微分同胚的条件，保证了上图是同胚映射在复合了  之后是光滑的交换图.

因此微分流形由相容条件决定，例如假设  及它的逆都是的，那么可以类似的定义微分流形。其中所有坐标卡相容都是光滑相容，而两两相容的一族坐标卡 并且满足，就称为一个地图册或者坐标卡集，如果所有互相相容的坐标卡都放在了同一个地图册里，称这样的地图册是极大地图册.

通过上面的讨论就给出微分结构的定义.

定义2  (Differential structure)：一个极大地图册，就是定义在-维拓扑流形上的微分结构。

根据定义2可知，定义微分结构的前提是在拓扑流形上，包含了坐标卡，相容性条件（转移函数）和极大地图册.  即验证一个拓扑流形是微分流形，就需要给出微分结构，也就是极大地图册，而极大地图册中可以有很多坐标卡，但只要给出了一个地图册，也就是开集覆盖住了，且开集中的坐标卡两两相容，那么这个地图册就唯一包含在一个极大地图册中，从而使拓扑流形成为微分流形.

引理1：

（i）每一个地图册唯一的包含在一个极大地图册中；

（ii） 两个地图册，都被包含在同一个极大地图册中当且仅当这两个地图册是相容的。

证明：

（i） 现在已经有一个地图册，然后给出一个新的集合，是所有与相容的坐标卡的集合.  然后说明就是一个地图册，即在中任意给定的两个坐标卡，都和中的任意一个坐标卡相容，通过中的坐标卡可以说明相容性，最后可以发现，地图册的极大性从构造中就可以看出，又由于假设还有极大地图册，必然包含于，反过来也包含于极大地图册中，所以就证明了唯一性.

（ii）先证明充分性，即由于这两个地图册相容，从而可以合并成一个新地图册，由（i）可知，它们都包含在同一个极大地图册中.  再证明必要性，即根据极大地图册中坐标卡两两相容，从而原本的两个地图册相容.

引理1说明如果在拓扑流形的开集上给出相容的坐标卡就可验证拓扑流形的微分结构，从而可以验证它们是光滑流形，如，，有限维线性空间，，都可以给出相容的坐标卡，因此它们也是光滑流形. 即要证明一个空间  是微分流形，首先要说明它是一个拓扑流形，先给出  上的拓扑，验证其是一个拓扑流形之后再给出一个覆盖住  的地图册，从而有了微分结构. 事实上，上的拓扑是由地图册唯一决定的，把欧氏空间的拓扑局部的赋予到流形上，这样就避免了在  上重新定义拓扑.

下面的定理正好说明了从集合到光滑流形需要满足的条件.

定理1：给定集合  的一个覆盖 ，且在每个上有一个单射 ，并且满足下列条件：

（i） ，是中开集；

（ii） ，也都是中开集；

（iii） 当时，是光滑的；

（iv）存在可数多个 覆盖住 ；

（v） 对上不同的两点，他们要不包含在同一个中，要不分别包含在不相交的两个集合中.

称是一个光滑流形，且有唯一的拓扑和微分结构.

证明：

定理中的（i），（ii）和（iii）可以对在定义拓扑结构，并且（iii）保证了坐标卡的相容性，从而有唯一微分结构，（iv）保证了流形的第二可数性，（v）保证流形是Hausdorff的.

首先在上定义拓扑.  记，从而是双射，取是开集，则可以定义是中开集.

接着证明在（i），（ii）和（iii）条件下，的集合构成了的拓扑基，从而有了在上的拓扑，记为中开集，那么得到为中的开集，从而有，，这样就证明了把欧氏空间中的开集通过  逆映射成了上的拓扑基.

然后根据上有可数个，每个都同胚于欧氏空间，从而有可数拓扑基逆映射回到上，故总共的拓扑基依旧是可数的，因此就证明了的第二可数性，最后可以发现的Hausdorff性是显然的.

而这个拓扑的唯一性可以由下面的思路来证明.  首先由于是单射和条件（i）就说明了上的拓扑不能比定义1中的拓扑更细，否则映到欧式空间就不是开集了.  其次要保证的连续性，上的拓扑必然包含定义1中的拓扑，同时不能比定义1中的拓扑更粗. 从而唯一性得证.

另外还有其他定义，类似通过坐标卡可以定义上的拓扑，其中条件和定理1中的条件相同，再定义是开集，当且仅当是中开集，可以发现这与定义1中的拓扑是等价的.

未完待续……

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